Composição de forças e força resultante

A vel. é máxima na posição 8m  pois entre 0 < x < 8 metros temos F1-F2 > 0, portanto o corpo está acelerando.  Quando x= 8 metros F1-F2=0, o que significa que nesse instante sua aceleração é zero e ele pára de acelerar.Para x> 8 o corpo começa a desacelerar, pois  F1-F2 <0 e ao final do gráfico vemos que a resultante é R = -20N que é o máximo da força de desaceleração. 
Vamos fazer o gráfico da resultante entre 0 e 10 metros onde x é a posição Fr(x) é a resultante das forças aplicadas nessa posição. Vemos no gráfico acima que entre 0 e 6 metros temos uma resultante constante igual a Força resultante entre 0 e 6 em função da posição =  Fr [0-6](x)
                                      Fr [0-6](x) = F1 - F2 = 40 - 20 = 20 N

Já entre 6 e 10 metros temos que fazer a soma  da força F1[6-10](x) e F2[6-10](x) que correspondem a:  

     F1[6-10](x) = -10x+100 

 F2[6-10](x) = -20 

Dai temos

 Fr[6-10] (x) = -10x + 80

O gráfico da Força resultante entre as posições 0 e 10 Fr(x) está abaixo:

Click no gráfico para aumentá-lo.
Assim, para calcularmos a velocidade máxima faremos:
x entre 0  e 6 a força resultante é de 20N e entre 6 e 8 temos a força média de 10N, pois a resultante varia entre 20 e 0 na equação de reta -10x+80 e o valor intemediário é 7, portanto o valor médio de Fr[6-10](x) é 10N. Agora vamos calcular a velocidade máxima:
             entre 0 e 6 temos: a1 = Fr[0-6] / m = 20/2,8
                 v1^2  = vo^2 +  2*Dx1* a sendo Dx1 = 6  a1= 20/2,8 temos  
                 v1^2 = 2 * 6 * 20/2,8 
              entre 6 e 8 temos a2 = Fr[6-10] / m = 10/2,8 vm = velocidade máxima
                  vm^2  = v1^2 +  2*Dx2* a    Dx2 = 2
                  vm^2 = raiz (100) = 10 m/s      

Volume do tetraedro

Quantos tetraedros de mesmo volume cabem dentro de um prisma regular ?

Esses três tetraedros (verde, laranja e amarelo) tem o mesmo volume e cabem dentro do prisma regular que nesse caso tem como base o triângulo equilátero com lado a e altura h e altura H . Assim, os volumes dos tetraedros laranja, verde e amarelo somados deve ser igual ao volume do prisma.  Sendo a  área da base  do prisma   = ah/2   e H a altura e por verificarmos que podemos guardar 3 tetraedros tri-retângulos de mesmo volume no interior do prisma  então temos que o volume de cada tetraedro é igual a:                                             

                                            3 x Volume do tetraedro =  Volume do prisma
                                                Volume do tetraedro =  (ah/2 x H) / 3

 
 
 Veja nesse link mais detalhes: aqui
Quantos tetraedros diferentes podem ser  colocados dentro de um cubo?

                                                                  Fig 1 

A figura 1  mostra que temos 4 tetraedros tri-retângulos coloridos e o maior tetraedro representado pela cor branca.interno onde vemos apenas a sua base considerando que as cores são transparentes.Este é o maior tetraedro que se pode guardar dentro de um cubo. Suas arestas são diagonais das faces do cubo. Seu volume é igual ao do cubo subtraído de quatro tetraedros tri-retângulos coloridos:

            Volume do maior tetraedro guardado no cubo =  a^3 − 4⋅ a^3 / 6 = a^3 /3


A fig 2 mostra esse tetraedro no interior do cubo

                                                          

                                                                      Fig. 2
        Veja também em:tetraedros no interior do cubo                                                                        

Centro de massa

            Calculemos  o centro de massa de um aro semicircular ilustrado na figura 9. A origem do sistema de coordenadas está sobre um eixo de simetria da figura. Isto facilita sobremaneira o cálculo da integral.
Intuitivamente, podemos observar que o centro de massa deverá estar no eixo “y”
pois a todo elemento de massa em +x corresponde um outro igual em –x. A ordenada y
do centro de massa, no entanto, não é nula. Também é intuitivo que o centro de massa
não está na origem, que é o centro de curvatura do aro, pois todas as massas estão com
as ordenadas positivas. Na figura façamos o ângulo theta = Q, indicamos um elemento de massa de comprimento RdQ  na altura R.senQ. A massa deste elemento é dm = L.R.dQ, onde L = M/pi.R é a
massa por unidade de comprimento e Int representa a operaçõa integração. Temos então que

M.y(cm) =Int ( y.dm) = Int [R.senQ.(L.R.dQ)] =Int (R^2 L senQ.dQ) = 2.R^2.L

Logo, y(cm) = 2R/pi. Note que a coordenada do centro de massa, como era de se
esperar, não depende da massa.

           Calculemos agora, o centro de massa de um semicírculo (figura 10). O raciocínio é análogo ao exemplo anterior com a diferença de que agora o elemento de massa é dm = s.r.dr.dQ, onde s = 2.M/p.R^2 é a massa por unidade de área.:
Perceba que r agora varia e o elemento de área é r.dr.dQ. Temos então que
                         M.y(cm) = Int( y.dm) = Int [r.senQ.(s.r.dr.dQ)] =
                            s [Int ( r^2.dr  Int ( senQ.dQ)] =  2.s.R^3/3
Logo, y(cm) = 4R/3pi.
Estes dois últimos exemplos mostram alguns fatos interessantes. O baricentro de
uma entidade não está necessariamente “dentro” da entidade como pudemos verificar no
caso do aro semicircular. Embora uma curva delimite uma superfície, seus baricentros
não são necessariamente coincidentes a não ser que sejam perfeitamente simétricos
como é o caso da circunferência e do círculo. Analogamente, um sólido e a superfície
que o envolve terão baricentros coincidentes quando forem simétricos
tridimensionalmente tal qual uma esfera.

Material retirado de: Centro de massa