Plano inclinado e sentido da força de atrito

Uma caixa de peso 1000 N é mantida em repouso sobre um plano inclinado de 45º em relação à horizontal, por ação de uma força de módulo F, paralela ao plano. O coeficiente de atrito entra a caixa e o plano é de 0,50. Representando por F1 o valor mínimo e F2 o valor máximo de F, capazes de manter a caixa em repouso, teremos a razão F2 / F1, igual a :

a) 0,50
b) 1,0
c) 3,0
d) 4,5
e) 6,0

Bem este problema tem que ser analisado da seguinte forma:

A força de atrito é uma força reativa e ela só ocorre se estivermos aplicando uma força para tentar movimentar o corpo. Imagine que o corpo está na horizontal. Então a força de atrito se obtêm pela multiplicação da força reativa ao peso pelo solo (plano horizontal) que nós denominamos de NORMAL multiplicado pelo coeficiente de atrito = ca. Assim, a força que devemos aplicar para mover o corpo deve ser maior que         ca x N  sendo N nesse caso igual P. Qualquer força menor que essa não provoca movimento do corpo. Matematicamente escrevemos F >= ca x N. No caso do nosso problema temos as seguintes situações:

Caso A:O corpo sem atrito no plano inclinado: Fig 1 
Neste caso a força necessária para manter o corpo em repouso é:
                                 m = massa e g = aceleração da gravidade
                                 P = m x g  
                                 F= P x sen (theta)

                                                                              Fig 1

Caso B : A força F1 aplicada no corpo é a menor força necessária para manter o corpo em repouso  Fig 2:

Daí temos que na direção do plano inclinado a força F1 deve ser tal que compense a diferença entre a componente da força peso na direção do plano que vamos denominar de Px e a força de atrito na direção contrária ao movimento Fat:

F1 = Px – Fat

sendo Px = P x sen(theta)     
Fat = ca  x P x cos(theta) 
Fat = ca  x P x sen(theta)
Pelos dados do problema temos:
    F1 = P x sen(theta) – 0,50 x P x sen(theta)

              F1 =   0,50 x P x sen(theta)

                                                                          Fig 2

Caso C : A maior força aplicada para que o corpo permaneça em repouso  = F2  , isso é, para que o corpo não se movimente, corresponde a aplicarmos uma força que seja igual a força peso mais a força de atrito – nesse caso a força de atrito vai resistir ao movimento agora no sentido inverso do movimento que seria no caso anterior.     Vide   Fig 3 
                                                   

                                                         F2 = Px+ Fat

                                                         F2 = 1,50 x P x sen(theta)

                                                        Portanto F2/F1= 3

                                                                             Fig 3