Queda Livre

Problema : Queda Livre

Um corpo em queda livre percorre, no último segundo de queda a altura correspondete a 3/4 da altura total. A altura desta queda, em metros vale...?

Resumidamente, a equação que descreve o movimento de queda livre de um corpo é
resposta dada por Felipe Russman na comunidade eu amo física
y(t) = y(0) + v(0)y.t -gt²/2 ,

de onde ainda v(t) = v(0) + gt .

Suponhamos que o corpo esteja inicialmente parado, a uma altura y(0), e que durante a queda tenha consumido um tempo T. Então

y(T) = y(0) -gT²/2 = 0 (I)

O intante t=T-1 é o último segundo de queda. Assim

l y(T) - y(T-1) l = (3/4)y(0)
y(T-1) = (3/4)y(0)
y(0) - g(T-1)²/2 = (3/4)y(0)
y(0) = 2g(T² - 2T + 1) (II)

Unindo as informações de (I) e (II), temos

gT²/2 = 2g(T²-2T+1)
T² = 4T² - 8T + 4
3T² - 8T + 4 = 0

cujas solução maior que 1 é 2 s .

Assim, de (I) ou (II),

y(0) = 2g = 20 m.

Talvez seja essa a solução.

Soluções do Luiz Mura

Dica: Se o problema lhe dá como dados uma razão entre uma variável, obtenha então razões  entre variáveis.

solução a)

Bem, podemos solucionar esse problema de outra maneira:

Considere que t1 seja o tempo de queda dos primeiros 1/4 da altura total S. Então temos S1= 1/4S pois é igual a distância percorrida no tempo t1 e t o tempo total de queda. Vamos encontrar a proporção entre esses tempos de queda utilizando a relação S= at²/2 (1) o que leva a t = raiz(2S/a):

Façamos então

t1/t = raiz [(2*1/4S)/10]/[raiz(2S/10)]

assim 4t1² = t² (2)

Sabemos que t = t1+ t2 sendo t2 o tempo de queda do último segundo portanto t2=1s

então

t² = t1²+ 2t1t2+t2² (3)

substituindo (2) em (3) e t2=1s temos

-3t1² + 2t1+1 = 0

Utilizando a raiz positiva t1= 1s

Sendo portanto o tempo total de t = 2s

utilizando a expressão (1) temos:

S = 10*2²/2 = 20 metros como já havia sido demonstrado pelo Felipe

solução b)

vf = velocidade final v1 = velocidade do corpo após atingir 1/4 do percurso S t= tempo total de queda t= (t1+t2) sendo t2 = 1s dado do problema

Assim temos aplicando Torricelli

vf^2 = 2gS

v1^2 = 2g(1/4)S

vf/v1 = 2

vf= 2v1 (1)

vf= a(t1+t2)

v1= at1

vf/v1= (t1+t2)/t1 (2)

substituindo (1) em (2) temos

2t1 = t1+t2

como t2 = 1s verificamos que t1=1s