Limites
Noção
intuitiva de limite
Seja
a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x
que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e
pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor
correspondente de y:
|
|
 |
Notamos
que à medida que x
se
aproxima de 1, y
se aproxima de 3, ou seja, quando x
tende para 1 (x
1), y
tende para 3 (y
3), ou seja:
1), y
tende para 3 (y
3), ou seja:
Observamos
que quando x
tende para 1, y
tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x
1). Nem
é preciso que x
assuma
o valor 1. Se f(x)
tende para 3 (f(x)
3), dizemos que o limite de f(x)
quando x
1 é 3,
embora possam ocorrer casos em que para x
= 1 o
valor de f(x)
não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x
1). Nem
é preciso que x
assuma
o valor 1. Se f(x)
tende para 3 (f(x)
3), dizemos que o limite de f(x)
quando x
1 é 3,
embora possam ocorrer casos em que para x
= 1 o
valor de f(x)
não seja 3.De forma geral, escrevemos:
 |
se,
quando x
se
aproxima de a
(x a),
f(x)
se aproxima de b
(f(x)b).
a),
f(x)
se aproxima de b
(f(x)b).
Como
x²
+ x
- 2 = (x
- 1)(x
+ 2), temos:
Podemos
notar que quando x
se
aproxima de 1 (x1),
f(x)
se aproxima de 3, embora para x=1
tenhamos f(x)
= 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1.
E,
no caso, y
3.
Logo,
o limite de f(x)
é 3.
1),
f(x)
se aproxima de 3, embora para x=1
tenhamos f(x)
= 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1.
E,
no caso, y
3.
Logo,
o limite de f(x)
é 3.
Escrevemos:
Se
g: IR IR e g(x)
= x
+ 2, g(x)
= (x +
2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x)
em x =
1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
IR e g(x)
= x
+ 2, g(x)
= (x +
2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x)
em x =
1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
Limites
Propriedades
dos Limites
1ª)
Exemplo:
2ª)
Exemplo:
3ª)
Exemplo:
4ª)
Exemplo:
5ª)
Exemplo:
6ª)
Exemplo:
7ª)
Exemplo:
8ª)
Exemplo:
Limites
Limites
Laterais
Se
x
se aproxima de a
através
de valores maiores que a
ou
pela sua direita, escrevemos:
 |
Esse
limite é chamado de limite
lateral
à
direita
de a.
Se
x
se aproxima de a através de valores menores que a
ou pela sua esquerda, escrevemos:
 |
Esse
limite é chamado de limite
lateral à esquerda
de a.
O limite de f(x) para xa
existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda
são iguais, ou seja:
O limite de f(x) para x
a
existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda
são iguais, ou seja:- Se
- Se
Continuidade
Dizemos
que uma função f(x)
é contínua num ponto a
do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
Propriedade
das Funções contínuas
Se
f(x)
e g(x)são
contínuas em x
= a,
então:
- f(x)
g(x)
é contínua em a;
- f(x) . g(x) é contínua em a;
é
contínua em a
.
Limites
Limites
envolvendo infinito
Conforme
sabemos, a expressão x
(x
tende para infinito) significa que
x assume
valores superiores a qualquer número real e x
(x
tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x
assume valores menores que qualquer número real.
(x
tende para infinito) significa que
x assume
valores superiores a qualquer número real e x
(x
tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x
assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo:
a) 
, ou seja, à medida que x
aumenta, y
tende para zero e o limite é zero.
, ou seja, à medida que x
aumenta, y
tende para zero e o limite é zero.
b) 
, ou seja, à medida que x
diminui,
y tende
para zero e o limite é zero.
, ou seja, à medida que x
diminui,
y tende
para zero e o limite é zero.
c) 
, ou seja, quando x
se aproxima de zero pela direita de zero 
ou por valores maiores que
zero, y
tende para o infinito e o limite é infinito.
, ou seja, quando x
se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que
zero, y
tende para o infinito e o limite é infinito.
d) 
, ou seja, quando x
tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y
tende para menos infinito
, ou seja, quando x
tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y
tende para menos infinito
Limite
de uma função polinomial para 
Seja
a função polinomial 
. Então:
. Então: |
Demonstração:
Mas:
Logo:
De
forma análoga, para 
, temos:
, temos: |
Exemplos:
Limites
Limites
trigonométricos
|
 |
Demonstração:
Para
, temos sen x
< x
< tg x.
Dividindo a dupla desigualdade por sen x
> 0, vem:
, temos sen x
< x
< tg x.
Dividindo a dupla desigualdade por sen x
> 0, vem:
Invertendo, temos:
Mas:
- g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se
, então 
, . Logo, 
Limites
Limites
exponenciais
 |
Neste
caso, e
representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do
número irracional e
cujo valor aproximado é 2,7182818.
Veja a tabela com valores de x e de
.
Veja a tabela com valores de x e de
.
x
|
1
|
2
|
3
|
10
|
100
|
1
000
|
10
000
|
100
000
|
 |
2
|
2,25
|
2,3703
|
2,5937
|
2,7048
|
2,7169
|
2,7181
|
2,7182
|
Notamos que à medida que .
De forma análoga, efetuando a substituição
, temos:  |
Ainda de forma mais geral, temos :
|
|
As duas formas acima dão
a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições
algébricas.
 |
Se
,então 
.Mas:
Logo:
Como
x
0 , então u 0. Portanto:
0 , então u 0. Portanto:
Generalizando
a propriedade acima, temos .
 |
Calcule o limite de f(x) com x tendendo a 0 da função:
f(x) = [(sqrt
x + 2) + (sqrt x + 6) - (sqrt 2) - (sqrt 6)] / x
O problema se resolve utilizando-se de um truque:
primeiro divida a função
em duas somas:
f(x) =
[raiz(x+2)-Raiz(2)] / x + [raiz(x+6)-Raiz(6)] / x
multiplique a primeira soma no denominador e numerador por raiz(x+2)+Raiz(2)
multiplique a segunda soma no denominador e numerador por raiz(x+6)+Raiz(6)
a primeira soma se
transforma em:
1 / [raiz(x+2)+Raiz(2)]
e a segunda em:
1 / [raiz(x+6)+Raiz(6)]
Faça o limite para x tendendo a zero para as duas funções e teremos:
1/2 [(1/raiz(2))+(1/raiz(6)]
e com um pouquinho de algebra chegamos ao resultado:
[sqrt 6+ sqrt 2] / 4 sqrt 3
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