Uma bola cai, verticalmente a partir do repouso, de uma altura h e choca-se com o solo. Considere que cada choque inverte a direção da velocidade da bola e diminui o módulo do vetor velocidade em 10%. Calcule a distância total que a bola percorre e o tempo decorrido até que a bola atinja o repouso.
A altura h1= primeira quando se solta a bola será mgh= mv^2/2 h1= v^2/2g (1), como a velocidade se reduz em V2= 0,9V1 temos que V(n) = V1(0,9)^(n-1) (2). Assim digamos que queremos encontrar V5= V1(0,9)^4. Bem a altura total é a soma da altura inicial mais todas as vezes que a bola bate e volta com vel. 0,9 da velocidade que ela bateu. Isso posto matematicamente temos:
Digamos que vamos calcular uma altura qualquer que a bola vai alcançar na enésima vez:
Hn = Vn^2/2g ora utilizando a equação 2 temos:
Hn = [V1(0,9)^(n-1)]^2/2g ou Hn= V1^2 (0,9)^[(n-1)^2] /2g (3)
Como temos uma somatória de vários termos, isso é a altura total é a somatória de todos os termos da expressão (3) menos uma altura h1, pois e a primeira vez que largamos a bola e portanto ela só se desloca uma vez h1
Htotal = 2ΣHn - h1
Observamos que os valores de Hn compõem uma série sendo a= V1^2 e q= (0,9)^2 vamos observar um dos termos dessa série:
Hn= a^2 q^(n-1) vemos que esta série converge para n tendendo a infinito se q < 1 que é o nosso caso e essa soma é igual a
ΣHn = a/(1-q)
e substituindo-se os valores temos que:
Htotal= 2/2g (V1^2)/[1-(0,9)^2] – V1^2/2g
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