valor do ângulo entre diagonais de um paralelogramo

Sabendo que os lados de um paralelogramo ABCD medem AB = CD = 2 e BC = AD = 1 e que o ângulo DAB = 60º, determine o cosseno do ângulo agudo formado pelas diagonais de ABCD.

Relembrando propriedades dos paralelogramos:

- Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. Os ângulos consecutivos são suplementares (somam 180°)

- Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.



O segredo da questão é descobrir quanto valem as diagonais pela lei dos cossenos.

Primeiro a diagonal BD:

d² = 1²+2² - 2.1.2.cos60

d² = 1+4 - 2.1.2.1/2

d² = 1+4 - 2d = √3

Diagonal AC:

D² = 1² + 2² - 2.1.2.(-1/2) [cos 120 = - cos60]
D² = 1 + 4 + 2

D² = 7D = √7

As diagonais determinam dois tipos de ângulos, um obtuso e um agudo. O agudo está referente ao menor lado do quadrilátero: ''O menor ângulo determina o menor lado''.

Esse ângulo eu nomeei de θ lá no desenho.

Agora observa o triângulo AED.

Veja que você já tem os três lados e um ângulo desconhecido, do qual a questão quer saber seu cosseno.

Os lados do triângulo são determinados pelas semi-diagonais do paralelogramo, já que: Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

Aí é só calcular o cosseno desse ângulo pela lei dos cossenos:

1² = (√(7)/2)² + (√(3)/2)² - 2.√(7)/2.√(3)/2.cosθ

1 = 7/4 + 3/4 - √(21)/2.cosθ

√(21)/2.cosθ = 7/4 + 3/4 - 1

√(21)/2.cosθ = 10/4 - 1

√(21)/2.cosθ = 6/4

√(21)/2.cosθ = 3/2

√(21).cosθ = 3 

cosθ = 3/√(21).