Matemática Fuvest 2016 trigonometria

Sabe-se que existem números reais A e x0, sendo A > 0,

tais que

sen x + 2 cos x = A cos(x – x0)

para todo x real. O valor de A é igual a:

Solução:

                              cos(x-x0)= cosxcosx0-senxsenx0

                            sen x + 2 cos x = A(cosxcosx0-senxsenx0)

Igualando os coeficientes da relação acima:

                           Acosx0 = 2  =>  cosx0 = 2/A

                           Asenx0 = 1  =>   senx0 = 1/A

Utilizando a relação:

                           (senx0)² +  (cosx0)² = 1 

e substituindo os valores acima: