Noções básicas sobre limites

Limites

Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02

x y = 2x + 1 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98

   Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:

 Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
    Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
    De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).

                       

                        Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

                       

   Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

                         

   Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Limites

Propriedades dos Limites

1ª)   

   Exemplo:

  

2ª)   

   Exemplo:

  

3ª)   

   Exemplo:

  

4ª)   

   Exemplo:

  

5ª)   

   Exemplo:

  

6ª)   

    Exemplo:

  

7ª)   

   Exemplo:

  

8ª)   

   Exemplo:

  

Limites 

Limites Laterais

   Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

    Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.

   Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

    Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
    O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou seja:

• Se
• Se

Continuidade

   Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

• 
• 
• 

Propriedade das Funções contínuas

   Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

•  f(x)g(x) é contínua em a;
• f(x) . g(x) é contínua em a;
• é contínua em a .

Limites

Limites envolvendo infinito

   Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.

    Exemplo:

a)    , ou seja, à medida que x aumenta,  y tende para zero e o limite é zero.

b)    , ou seja, à medida que x diminui,  y tende para zero e o limite é zero. 

c)    , ou seja, quando  x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.

d)    , ou seja, quando x  tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito

Limite de uma função polinomial para

    Seja a função polinomial . Então:

    Demonstração:

    

    Mas:

   

    Logo:

   

    De forma análoga, para , temos:

    Exemplos:

   

Limites

Limites trigonométricos

    Demonstração:

    Para ,  temos  sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

   

    Invertendo, temos:

   

    Mas:

•  
• g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então , .           Logo,

Limites

Limites exponenciais

    Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é  2,7182818.
    Veja a tabela com valores de x e de . 

x	1	2	3	10	100	1 000	10 000	100 000
	2	2,25	2,3703	2,5937	2,7048	2,7169	2,7181	2,7182

    Notamos que à medida que .
  
  De forma análoga, efetuando a substituição  , temos:

    Ainda de forma mais geral, temos :

    As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas. 

   
 Se ,então  .
    Mas:

   

    Logo: 

  

    Como x 0 , então u 0. Portanto:

  

   Generalizando a propriedade acima, temos .

Calcule o limite de f(x) com x tendendo a 0 da função:

f(x) = [(sqrt x + 2) + (sqrt x + 6) - (sqrt 2) - (sqrt 6)] / x

O problema se resolve utilizando-se de um truque:

primeiro divida a função em duas somas:

f(x) = [raiz(x+2)-Raiz(2)] / x + [raiz(x+6)-Raiz(6)] / x

multiplique a primeira soma no denominador e numerador por raiz(x+2)+Raiz(2)

multiplique a segunda soma no denominador e numerador por raiz(x+6)+Raiz(6)

a primeira soma se transforma em:

1 / [raiz(x+2)+Raiz(2)]

e a segunda em:

1 / [raiz(x+6)+Raiz(6)]

Faça o limite para x tendendo a zero para as duas funções e teremos:

1/2 [(1/raiz(2))+(1/raiz(6)] 

e com um pouquinho de algebra chegamos ao resultado:

                                                         [sqrt 6+ sqrt 2] / 4 sqrt 3