Cálculo 1 Taxa de variação

Cálculo I - Taxa de variação

Uma escada de mão de 4 metros de comprimento está inclinada contra uma parede vertical de uma casa. Se a base da escada for puxada horizontalmente a uma taxa de 0,7 metros por segundo, a que velocidade estará o topo da escada escorregando na parede no instante em que ela está a 2 metros do solo?

Da figura veja o triângulo retângulo composto pela  escada e suas projeções x e y na parede temos:

H² = x²+ y² (1)

4² = x²+ y² (2)

Como o posição x está parametrizada pela variável tempo sendo que x= 0,7t onde t = tempo transcorrido temos

4² = (0,7t)²+ y²

4² = 0,49t²+ y²

y = raiz( 16 – 0,49t²) (3)

a velocidade da escada na parede vertical (Y) é obtida pela derivada da expressão (3) na variável t:

A função genérica a ser derivada é

y = raiz( b – at²)

d(y)/dt = - at/(raiz(b - at²)

então para a função específica (3) temos:

d(y)/dt = - 0,49t/(raiz(16 - 0,49t²)

v(y) = - 0,49t/(raiz(16 - 0,49t²) (5)

Encontre o tempo t para y = 2 m na expressão (3) e substitua esse valor na expressão (5)