Cinemática vetorial

Dois corpos A e B, ambos em movimento uniformemente variado ao longo de um eixo x, se cruzam duas vezes: no instante t1 e no instante t2. Suas velocidades escalares são respectivamente iguais a Vai  e Vbi, no instante t1, e Vaf e Vbf, no instante t2  ( i= inicial e f = final):

Mostre que:  (Vai – Vbi) / (Vaf – Vbf) = –1
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                                                                          Fig1


 

Bem, a questão é que velocidade é uma grandeza vetorial e,nesse problema, é melhor escrevermos todas as fórmulas na forma vetorial.

Assim, a velocidade média do movimento uniformemente variado é dada de forma genérica vetorial por (todos os símbolos em destaque representam vetores):

Vm = (Vf +Vi)/2 (I)

Onde:

Vf representa o vetor velocidade final

Vi o vetor velocidade inicial

No caso do problema temos que o deslocamento do bloco A é igual ao deslocamento do bloco B, pois o deslocamento é a distância entre o ponto inicial X1 ao ponto final X2 do movimento. Vide Fig 1

O deslocamento vetorial é dado por:

ΔS = Vm x Δt (II)

Onde

Vm é o vetor velocidade média

ΔS  é o vetor deslocamento espacial

Para o bloco A temos:

Vma = (Vai + Vaf)/2 (III)

Para o bloco B temos:

Vmb = (Vbi + Vbf)/2 (IV)

sendo que

Vma = Vmb (V)

e,assim, obtemos a relação vetorial final:

(Vai – Vbi)/ (Vaf – Vbf) = –1

Sendo que todos esses vetores têm o mesmo versor X, isso é, um vetor que tem a direção do eixo do x e módulo igual a 1 (um) então exemplificando:

Se para o bloco A temos Vai = – 2X e Vaf = 3X , e para o B temos Vbi = 6X e Vbf = – 5X então:

((– 2X – (+6X) / (+3X – ( –5X) = –1

Da relação acima podemos verificar:

((– 2– (+6))X / (+3 – ( –5))X = –1

Portanto, vemos que podemos utilizar as velocidades escalares Vai, Vaf, Vbi, Vbf  que correspondem a intensidade e sentido desses vetores  na fórmula vetorial .

Para o caso do corpo estar em um campo de aceleração constante que é o caso da aproximação do campo gravitacional numa dada região. Fig2

  

Fig 2

Fórmula vetorial genérica da diferença dos vetores velocidade:

ΔV = Vf – Vi

Onde

ΔV é o vetor diferença de velocidades

Vf vetor velocidade final

Vi vetor velocidade inicial
 
Assim, para obtermos o vetor aceleração do campo gravitacional definindo o referencial de forma que na direção perpendicular ao piso consideramos o um eixo Y e no sentido
ascendente temos o crescimento da distância do corpo em relação ao piso temos:

ΔVsubindo = Vfs – Vis

ΔVdescendo = Vfd – Vid

Façamos o versor Y ser um vetor na direção perpendicular ao piso e com módulo igual a 1, portanto com sentido para cima em nosso referencial então:
Considerando:
Vfs = 2Y e Vis = 3Y verificamos que Vfd = – 3Y e Vid = – 2Y sendo Δt = 0,1 s

Calculando as acelerações temos
Vetor aceleração subindo Acs:

Acs = ΔV/Δt = (Vf – Vi)/ Δt 
Acs = (2Y – 3Y)/Δt = – 1Y/ Δt

Vetor aceleração descendo Acd:

Acd = ΔV/Δt = (Vf – Vi)/ Δt

Acd =( (– 3Y – (– 2Y))/Δt = –1Y/ Δt

portanto a relação entre os vetores aceleração é

Acs =  Acd

O vetores aceleração Acs e Acd são o mesmo vetor G que é um vetor na direção contrária ao eixo Y, portanto negativo e módulo igual a mod(–1)/ Δt. Como Δt = 0,1 segundos e a unidade do eixo dos Y nós definimos como metro então o vetor G = – 10Y