Trabalho realizado em um campo elétrico gerado por cargas elétricas discretas

Quatro cargas de idêntico valor Q estão colocadas nos vértices de um quadrado de lado 25,0 cm, sendo o valor das cargas: Q=5,0x10^-6 C Qual o trabalho necessário para deslocar uma carga qualquer  para o centro do quadrado?

 

 O trabalho realizado  pela força eletromotriz no interior de um campo eletrostático gerado por cargas discretas (teoricamente pontuais,fazendo uma aproximação para facilitar os cálculos) pode ser obtido integrando-se o vetor resultante (vetor calculado em cada ponto do espaço) das forças geradas pelas cargas discretas distribuídas no espaço multiplicado escalarmente  pelo vetor diferencial deslocamento. Assim, é preciso integrar vetorialmente:

                                                    int (F x dL) = int (E x q x dL),

isso é, integrar - denotado na fórmula como:  int  - o vetor força  F, que corresponde a vetor campo elétrico E multiplicado pela carga elétrica q que se desloca   multiplicado escalarmente pelo vetor  diferencial de descolamento dL. Para calcular o trabalho realizando podemos  utilizar  E(x,y) = campo elétrico resultante  no plano caraterizado geometricamente pelas variáveis (x,y) utilizando o conceito cartesiano para definir pontos no plano.  Podemos  fazer a integração dada por int (E(x,y) x q x dL) ou utilizar o conceito de diferença de potenciais dos pontos analisados ( A e B)  utilizando a expressão T = q x (Va-Vb), onde T denota trabalho realizado. Quando o trabalho é realizado pelo campo elétrico, defini-se como trabalho positivo e, portanto, quando o trabalho é realizado sobre o campo o trabalho é negativo. Assim, como o potencial em A é menor que o potencial em B  temos que EMPURRAR a carga de A para B de forma que realizamos trabalho sobre o campo e o trabalho é matematicamente negativo..

Potencial no ponto A:

Va = K ((q / L) + (q / (raiz(2) x L)) +  (q / L))

Potencial no ponto B:

Vb = K ( 3q / (raiz(2) / 2 x L))

Então é só calcular Va - Vb
O trabalho entre A e B é

T = q (Va - Vb)

Onde Va é sempre o ponto de partida e Vb o ponto de chegada considerando sempre o sinal da carga que está interagindo com o campo.
Veja complemento dessas ideias em :Clique aqui para saber mais

Cinemática vetorial

Dois corpos A e B, ambos em movimento uniformemente variado ao longo de um eixo x, se cruzam duas vezes: no instante t1 e no instante t2. Suas velocidades escalares são respectivamente iguais a Vai  e Vbi, no instante t1, e Vaf e Vbf, no instante t2  ( i= inicial e f = final):

Mostre que:  (Vai – Vbi) / (Vaf – Vbf) = –1
 Clique sobre a imagem se quiser ampliá-la

                                                                          Fig1


 

Bem, a questão é que velocidade é uma grandeza vetorial e,nesse problema, é melhor escrevermos todas as fórmulas na forma vetorial.

Assim, a velocidade média do movimento uniformemente variado é dada de forma genérica vetorial por (todos os símbolos em destaque representam vetores):

Vm = (Vf +Vi)/2 (I)

Onde:

Vf representa o vetor velocidade final

Vi o vetor velocidade inicial

No caso do problema temos que o deslocamento do bloco A é igual ao deslocamento do bloco B, pois o deslocamento é a distância entre o ponto inicial X1 ao ponto final X2 do movimento. Vide Fig 1

O deslocamento vetorial é dado por:

ΔS = Vm x Δt (II)

Onde

Vm é o vetor velocidade média

ΔS  é o vetor deslocamento espacial

Para o bloco A temos:

Vma = (Vai + Vaf)/2 (III)

Para o bloco B temos:

Vmb = (Vbi + Vbf)/2 (IV)

sendo que

Vma = Vmb (V)

e,assim, obtemos a relação vetorial final:

(Vai – Vbi)/ (Vaf – Vbf) = –1

Sendo que todos esses vetores têm o mesmo versor X, isso é, um vetor que tem a direção do eixo do x e módulo igual a 1 (um) então exemplificando:

Se para o bloco A temos Vai = – 2X e Vaf = 3X , e para o B temos Vbi = 6X e Vbf = – 5X então:

((– 2X – (+6X) / (+3X – ( –5X) = –1

Da relação acima podemos verificar:

((– 2– (+6))X / (+3 – ( –5))X = –1

Portanto, vemos que podemos utilizar as velocidades escalares Vai, Vaf, Vbi, Vbf  que correspondem a intensidade e sentido desses vetores  na fórmula vetorial .

Para o caso do corpo estar em um campo de aceleração constante que é o caso da aproximação do campo gravitacional numa dada região. Fig2

  

Fig 2

Fórmula vetorial genérica da diferença dos vetores velocidade:

ΔV = Vf – Vi

Onde

ΔV é o vetor diferença de velocidades

Vf vetor velocidade final

Vi vetor velocidade inicial
 
Assim, para obtermos o vetor aceleração do campo gravitacional definindo o referencial de forma que na direção perpendicular ao piso consideramos o um eixo Y e no sentido
ascendente temos o crescimento da distância do corpo em relação ao piso temos:

ΔVsubindo = Vfs – Vis

ΔVdescendo = Vfd – Vid

Façamos o versor Y ser um vetor na direção perpendicular ao piso e com módulo igual a 1, portanto com sentido para cima em nosso referencial então:
Considerando:
Vfs = 2Y e Vis = 3Y verificamos que Vfd = – 3Y e Vid = – 2Y sendo Δt = 0,1 s

Calculando as acelerações temos
Vetor aceleração subindo Acs:

Acs = ΔV/Δt = (Vf – Vi)/ Δt 
Acs = (2Y – 3Y)/Δt = – 1Y/ Δt

Vetor aceleração descendo Acd:

Acd = ΔV/Δt = (Vf – Vi)/ Δt

Acd =( (– 3Y – (– 2Y))/Δt = –1Y/ Δt

portanto a relação entre os vetores aceleração é

Acs =  Acd

O vetores aceleração Acs e Acd são o mesmo vetor G que é um vetor na direção contrária ao eixo Y, portanto negativo e módulo igual a mod(–1)/ Δt. Como Δt = 0,1 segundos e a unidade do eixo dos Y nós definimos como metro então o vetor G = – 10Y

Interação da energia eletromagnética com a matéria

        Para fazermos uma análise da interação entre a energia eletromagnética (EEM) com a matéria é preciso primeiro assinalarmos que o espectro de frequências dessa energia ( energia das ondas ou dos fótons) é bastante extenso, e, portanto, verificamos que devemos dividir o espectro em grupos de energia que têm comportamento semelhante ao interagir com o meio material estudado.

Assim, verifique em http://pt.wikipedia.org/wiki/Espectro_eletromagn%C3%A9tico o espectro eletromagnético.
TECLE SOBRE A FIGURA PARA AUMENTÁ-LA

          As ondas na faixa do espectro visível têm o comprimento médio de 0,5 10^ -6 metros e,dessa forma, passam incólumes na estrutura amorfa do vidro (o vidro não tem um estrutura cristalina). Já para comprimentos menores na faixa dos chamados raio-X o comprimento de onda nessa faixa de energia é da ordem do tamanho de um átomo, isso é, da região ocupada pelos elétrons que têm uma dimensão bem maior que a do núcleo atômico e,assim, a interação desses raios com os elétrons já se torna significativa e temos interações do tipo fotoelétrica – o raio-X arranca o elétron do átomo ou pelo efeito Compton onde o elétron sofre espalhamento , veja em : http://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_Compton e a pela formação de pares 

veja em formação de pares. ou http://pt.wikipedia.org/wiki/Produ%C3%A7%C3%A3o_de_par . 

            Nesses tipos de interação a EEM se comporta com partículas denominadas de fótons. Já para energias maiores na faixa dos gama o comprimento de onda é da ordem do tamanho do núcleo atômico e podemos considerar que a EEM se comporta como partículas interagindo com os núcleos atômicos. É por isso que a EEM interage de forma diferente com o vidro. Além do mais temos que considerar que essas interações ocorrem com maior probabilidade (seção de choque da interação) se houver ressonâncias, isso é, se a frequência da EEM for próxima das funções de onda que governam um determinado estado quântico da estrutura do material (moléculas e átomos que compõem o material analisado)

valor do ângulo entre diagonais de um paralelogramo

Sabendo que os lados de um paralelogramo ABCD medem AB = CD = 2 e BC = AD = 1 e que o ângulo DAB = 60º, determine o cosseno do ângulo agudo formado pelas diagonais de ABCD.

Relembrando propriedades dos paralelogramos:

- Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. Os ângulos consecutivos são suplementares (somam 180°)

- Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.



O segredo da questão é descobrir quanto valem as diagonais pela lei dos cossenos.

Primeiro a diagonal BD:

d² = 1²+2² - 2.1.2.cos60

d² = 1+4 - 2.1.2.1/2

d² = 1+4 - 2d = √3

Diagonal AC:

D² = 1² + 2² - 2.1.2.(-1/2) [cos 120 = - cos60]
D² = 1 + 4 + 2

D² = 7D = √7

As diagonais determinam dois tipos de ângulos, um obtuso e um agudo. O agudo está referente ao menor lado do quadrilátero: ''O menor ângulo determina o menor lado''.

Esse ângulo eu nomeei de θ lá no desenho.

Agora observa o triângulo AED.

Veja que você já tem os três lados e um ângulo desconhecido, do qual a questão quer saber seu cosseno.

Os lados do triângulo são determinados pelas semi-diagonais do paralelogramo, já que: Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

Aí é só calcular o cosseno desse ângulo pela lei dos cossenos:

1² = (√(7)/2)² + (√(3)/2)² - 2.√(7)/2.√(3)/2.cosθ

1 = 7/4 + 3/4 - √(21)/2.cosθ

√(21)/2.cosθ = 7/4 + 3/4 - 1

√(21)/2.cosθ = 10/4 - 1

√(21)/2.cosθ = 6/4

√(21)/2.cosθ = 3/2

√(21).cosθ = 3 

cosθ = 3/√(21).

problema da melância atirada do prédio

Uma pessoa deixa cair uma melancia do alto do telhado de um edifício. Ele escuta o barula da melancia ao se espatifar no solo, 2,5 s depois do lançamento.

a) Qual é a altura do edifício? (Considere a velocidade do som como 340 m/s e despreze a resistência do ar.)

t cair + tsubir som = 2,5 (I)
cair a melância
s= (g*tcair^2)/2 (II)
distância pra subir osom é igual a distância de queda da melancia
vsom= s/tsubir
340*tsubir = s (III)
substitua na equação (III) o valor de Tsubir da eq (I)
iguale os s e  terá o tcair e aí é só substituir em s da eq (II). 

2,5 s = t1 + t2, ou seja, o tempo que a melancia leva pra cair e se espatifar mais o tempo que o som leva pra percorrer H e chegar até aos ouvidos de quem a deixou  cair.

t1 + t2 = 2,5

d = 10/2 (t1)²                     

           

d = 5(t1)²                       

 d' = 340 * t2

Logo d = d' porque a distância que a melancia percorreu caindo é igual a distância que o som percorre depois dela se espatifar, logo:

5 (t1)² = d                          d’ = 340 * t2

     t1 =  √(d)                 e   t2 =  d’

             √(5)                           340

 √(d)   +    d’  = 2,5

 √(5)       340

Como d = d’

   d   = (2,5 -   d    )²_   

   5      (        340 )

   d  = 6,25 –   5d  +      d²     

   5                 340    115600

   d  =  722500 – 1700d +  d²     

   5              115600                    

   d  =  722500 – 1700d +  d²  

                     23120                    

   23120d = d² - 1700d + 722500

  

 d² -1700d - 23120d + 722500 = 0

  

 d² -1700d - 23120d + 722500 = 0

  

 d² - 24820d + 722500 = 0

∆ = (-24820)² - 4(1)(722500)

∆ = 616032400 – 2890000

∆ = 613142400

∆ = - b + / - √(∆)

             2a 

∆ = 24820 + / - √(613142400)

                    2

 d' = 24820 + 24762 = 24791

                       2

∆ = 24820 + / - 24762

                   2

  d'’= 24820 - 24762  ≅ 29,14

                   2

 Acontece que a equação (II) têm duas soluções uma positiva outra
negativa, isso é teríamos que considerar que existe um tempo negativo o
que não condiz com a realidade física. Substitua o valor d=24791 e terá para equação

 s= (g*tcair^2)/2 (II) tcair = 70,41 ou -70,41 e para a equação 340*tsubir = s (III) 

tsubir = 72,91. 

Assim teríamos Tsubir + Tcair = 2,5  se utilizarmos o valor negativo de tcair.

Conclui-se então que a solução é d  ≅ 29.14m

 Qual das distâncias é a correta? Veja se considerarmos a diferença dos tempos  entre o som percorrer a mesma distância que um corpo sob ação da aceleração da gravidade, isso é, a distância percorrida ser igual para a melância e para a propagação do som, mas se considerarmos a diferença dos tempos ser de 2,5 segundos ( tempo propagação do som - tempo queda da melância = 2,5 s) então a distância percorrida será os 24791m
obtidos como segunda raiz da equação utilizada.